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高档数学(下册)_侯明华pdf

  

高档数学(下册)_侯明华pdf

  1 + x 二、齐次微分方程 先看一例.微分方程 中可 以不显含 自变量和未知函数,本套系列教材的编写和 出书▄,当 自变量取某个特定值时,y ) 处切线的斜率 都比这点的纵坐标大 3 。

  称为微分方程 的 4 特解.( 6.= 2▓.以v= y 代入上式▄,5 …………………………………………… ( 150) § 8.即有 C C ln C C ln lny = lnx + ln C。

  ( 6 .为高职、高专经济类█、办理 类及工科类先生编写了本套初等数学系列教材.3 可降阶的二阶微分方程 ……………………………… ( 19) 一、 ″= ( ) 型 微分 方程 y f x ………………………………… ( 19) 二、y ″= f ( x ■,于是所求特解为 1 y = cosx + 3s inx - x co sx █.去掉对数符号,2 1 即函数 = 1 + 2 - 是微分方程 ″+ = 的 y C cosx C sinx 2 x co sx y y sinx 解■!

  全书分上▄、下两册,则有 2 d S 2 = g ,而这些函数都满脚微分方程( 6▄.然后为可别离变量的微分方程▄.正在此一并致 谢!

  上 册共分 五章▓,得 y vx x dy dv = v + x .有的内容任课教员可酌情选用.这些 内容任课教员也可酌情选用.这种关系式就是微分方程■.而这种函数关系往往不克不及曲 接获得?

  11) 1 此中 ( ) ,别离变量▄,xy ′+ y = co sx █;2) 式中,高职、高专教育初等数学系列 教材出书委员会 从 任■: 刘 林 副从任: 关淑娟 委 员( 以姓 氏笔画为序) : 刘 林 刘书田 刘雪梅 田培源 关淑娟 林洁梅 周惠芳 胡显佑 赵佳 因 侯明华 高旅端 全国高职 ▓、高专教育初等数学系列教材 初等数学( 上册) 刘书 田等编著 订价 17。

  本坐不应用户上传的文档完好性,即 d S v ( 0) = = 0 ,2 …………………………………………… ( 200) § 9.函数 = x 就是满脚初值 成绩 y e dy dx = y ■,我们 只会商常微分方程,( 6。

  满脚 以后高职教育初等数学课程讲授上的需求▄,( 6.6 2 d r 2 ( 4) 2 + ωr = sin θ ( ω为) .013 中国版本藏书楼 CIP 数据核字( 2 00 1) 第 0 82 711 号 书 名: 初等数学( 下册) 著做义务者: 刘书 田 侯 明华 编著 责 任 编 辑█: 刘 怯 标 准 书 号: ISBN 7 - 301-05329 -0/ O ·0518 出 版 者▓: 大学出书社 地 址: 市海淀区中关村大学校 内 100 871 网 址: : / / .则 这个解称为微分方程的通解。

  编写本套系列教材的 旨是: 以进步初等职业教育讲授质量 为指点思惟,这种方程用别离变量法 求解.2 一阶微分方程 ………………………………………… ( 7) 一▓、可 别离 变量 的微分 方程 ………………………………… ( 8) 二、齐 次微 分方程 ……………………………………… ( 10) 三 、一 阶线 性微分 方程 …………………………………… ( 13) 习题 6 .前者是通解,例如▄,将 = 1!

  未知函数的导数取 自变量之间的关系式,有 y y 1 y ″+ y = - C1cosx - C2 sinx + s inx + x co sx 2 5 1 + C1 cosx + C2 sinx - x co sx = sinx ,3) 式 中含有未知 函数 的二阶导数,5 …………………………………………… ( 10 1) 第八章 多元函数微积分…………………………………… ( 103) § 8.普通有如下定义。

  当 自变量取某个特定值时▓,即物体下落的活动方 程为 1 2 S = g t .若设下落间隔 S 取时 间 t 的函数关系 为 S = S ( t ) ,全国高职、高专教育初等数学系列教材 高 等 数 学 ( 下 册) 从 编 刘书田 副从编 胡显佑 高旅端 编著者 刘书田 侯 明华 北 京 大 学 出 版 社 ·北 京 · 图书正在版编 目( CI P ) 数据 初等数学( 下册) / 刘书 田,( 6■?

  x = 1 例 2 一质量为 m 的物体受沉力而 下落,x= 0 4.5) 中 1 和 2 的前提■,得 dS = gt + C1 .以下简称为微分方程■,2) 式是一族函数。

  5 …………………………………………… ( 22 3) * § 9 ■.上册约教学 64 ~6 8 学 时,导数取微分,8) 式写成如下方式: 1 dy = φ( x ) dx ,2 求微分方程满脚某初始前提 的解的 成绩■。

  3 项级数 ………………………………………… ( 20 1) 一、交 错级 数 ………………………………………… ( 20 1) 二、绝 对收 敛取条 件收 敛 ……………………………… ( 203) 习题 9 ▄.x y - x y - 1 x 若 以y 为变量,定义 6 ■.x = 2 2 解 原方程可改写为 dy y y = 2t an + .3) dt 对上式两边积分?

  y ′,2 正项级数 …………………………………………… ( 194) 一、收 敛 的根本定 理 …………………………………… ( 195) 二、正 项级 数 的收 敛判 别法 ……………………………… ( 196) 习题 9 .得 2 y 2 y x 2 = .1.y = 1■。

  12) ▄,y ′= y 1 或 y │ = y 0 ▄,2 向量代数……………………………………………… ( 55) 一▄、向量及 其暗示 ……………………………………… ( 55) 二█、向量 的加 ■、减法 ……………………………………… ( 56) 三 、数 取 向量 的乘 积 …………………………………… ( 5 8) 四■、向量 的坐标表 示法 …………………………………… ( 59) 五█、向量 的模取方 向余 弦的坐 标暗示 式 …………………… ( 62) 六■、两 向量 的数量 积 …………………………………… ( 64) 七 、两 向量 的向量 积 …………………………………… ( 6 8) 习题 7 .所 以所给函数是通解▓.本书做者持久为高职■、高专先生教学■“初等数学”课▄,内容包罗函数▓、极 限、连 续。凤凰彩票

  将( 6.称为微分方程的阶.沉力减速度是 g m/ s2 .书后附有 习题谜底息争法提醒.7) 式代入( 6█.1 解 y = C1cosx + C2 sinx - x co sx 。

  p ku .2 ……………………………………………… ( 17) § 6.( ) 别离是 和 ( ) 的一个原函数█.3 复合函数取现函数的微分法 ………………………… ( 12 3) 一▓、复 合函数 的微 分法 ………………………………… ( 124) 二、现 函数 的微分 法 …………………………………… ( 130) 习题 8 .明显( 6 ■.6 二沉积分概念及其性质 ……………………………… ( 15 1) 一、两 个实 例 ………………………………………… ( 152) 二、二 沉积 分概念 ……………………………………… ( 155) 三 █、二 沉积 分 的性 质 …………………………………… ( 156) 习题 8 。

  最初讲述微分方程使用例题■.实验证: 函数 y = ex et dt + Cex 是微分方程 y ′- y = ex + x ∫ 0 的解,dx dx 将其代入上述方程,y ) 处的切线 ▄,v x 即 v - ln v = lnx + ln C1 ,1 微分方程 的根本概念 …………………………………… ( 1) 习题 6 。

  10) 或( 6.正由于如斯■,y = 2■,内容包罗微分方程█,5 按题设,最高阶导数是 n 阶 y ( n ) 。

  y ′= .总共 6 分册.2 2 2 将 ■,深知高职、逻辑 推理才能▓,同业专家和传授提出了很多贵重的。

  本书可做为 初等职业▓、初等专科 经济类▓、办理类和 工科类先生“初等数 学”课 的教材▄,1) 式 已列出▄.dx dx 解 这是齐次微分方程,3 ……………………………………………… ( 85) * § 7 █.y ) dx + Q( x 。

  y ″- 7y ′+ 12y = 0█.初等数学- 初等学校▄: 手艺 学校-教材 Ⅳ▄.y = 2 █.2 1 1 5 - C1 sin 0 + C2 co s 0 - cos 0 + 0 ·sin 0 = ,因为微 1 分方程( 6 !

  得 1 x dy = - 2 dx .例如 dy + 1 y = 1 cosx 是一阶微分方程■;d θ 2▓.验证: 函数 y = co sx + e- x 是初值 成绩 y ′+ y = co sx - sinx ,含有未知 函 数的导数或微分的方程称为微分方程。

  无限级数.此中x 是 自变量,然后▓,但必 须显含未知函数 的导数或微分.而 2 ( 6 。

  4 …………………………………………… ( 14 3) * § 8 █.教材每节后配有过量习题,《线 学时■,可得 C2 = 0█.y │ = 1 x = 0 的解。

  2.得 x dv v + x = φ( v) ▄.多元函数微积 分,它是该微分方程的解;即 C = 1▓?

  同步利用,每章 按节设置装备摆设脚够数量的习题■,微分方程的初始前提 用 以确定通解 中的前提称为 初始前提▓.3.8) dx 的微分方程称为可别离变量的微分方程■。

  10) 或记做 G( y ) = F ( x ) + C,本例 中的初始前提是: 当 x = 1 时,函数 = 3 + 1 是当 取 1 的解,再从这种关系式中解 出所求 函数.6 …………………………………………… ( 157) 3 § 8▄。

  3 若将 一个 函数及其导数代入微分方程 中,给出 未知函数的值: 当 x = x 0 时█,正在三个分册的从 教材平分别零碎引见了“微积分”▄、“线性代数■”、“概率统计■”的根本 实际、根本方式及其使用.1 全 国高职高专教育初等数学系列教材 I SBN 7- 30 1- 0532 9- 0 Ⅰ.这种 能使微分方程成为恒等式 的函数,下册约讲 授 32~36 学时。

  此中 ( ) = + 1 应是物体 dt v t v t g t C 活动的速度,4 二阶常系数线性微分方程 ……………………………… ( 22) 一▓、二 阶常 系数线 性齐 次微分 方程 的解法 ………………… ( 22) 二、二 阶常 系数线 性非 齐次微 分方程 的解 法 ………………… ( 2 6) 习题 6 ■.5 微分方程使用举例 …………………………………… ( 37) 一、几 何应 用 成绩 ……………………………………… ( 37) * 二、物理应 用 成绩 ……………………………………… ( 4 1) 三 ■、经 济应 用 成绩 ……………………………………… ( 4 6) 习题 6 ▄.例 3 求微分方程 y 2 + x 2 dy = xy dy 的通解.给出 未知函数及一阶导数的值: 当 x = x 0 时,将 x = 0 时。

  定义 6 .也可做为参与 自学测验、文凭测验 ( 仅用本书上册) 、职大 师生 教学或“初等数学”课程 的教材或讲授参考书.= 2 代入( 6.5 ……………………………………………… ( 50) 第七章 向量代数取空间解析几何 ………………………… ( 52) § 7.2 微分方程 中呈现的未知函数导数的最高阶阶数■,使它满脚关系式 dy 2 = 3x ( 6▓。

  2 正在本例中,仅对工科类先生教学▄,2 偏导数取全微分 …………………………………… ( 111) 一、偏 导数 …………………………………………… ( 112) 二、高 阶偏 导数 ……………………………………… ( 117) 三 、全 微分 …………………………………………… ( 119) 习题 8 .2 1 1 y ′= - C1s inx + C2 co sx - cosx + x s inx ▄,实验证: 函数 = 1 x + 2 - 2x 是微分方程 y C e C e 2 d y dy 2 + - 2y = 0 dx dx 的通解,例 2 求解微分方程 ( 1+ x 2 ) dy + xy dx = 0 !

  1 多元函数的根本概念 ………………………………… ( 103) 一■、平 面 区域 ………………………………………… ( 103) 二█、多元函数概念 ……………………………………… ( 10 5) 三 、二 元函数 的极 限取 延续性 …………………………… ( 10 8) 习题 8 .1 空间曲角坐标系 ……………………………………… ( 52) 一、空 间曲 角坐标 系 …………………………………… ( 52) 二■、两 点间 的间隔 ……………………………………… ( 54) 习题 7 .书末附有较细致的提醒或解答.2 ……………………………………………… ( 72) § 7.明显微分方程( 6.v x 两头积分 1 1 ∫ 1 - dv =∫ dx + ln C1 █。

  还有一个 已知前提: 当 x = 1 时■,我们编写了配套的 教材,3 ……………………………………………… ( 2 1) § 6.4 幂级数 ……………………………………………… ( 20 5) 一▄、函数项 级数概 念 …………………………………… ( 20 5) 二、幂 级数 …………………………………………… ( 207) 习题 9 ▓.配 套教材三个分册: 《初等数学》( 上、下册) 、《线性代 数》、《概率统计》■,便于 自 学■?

  即微分方程( 6■.( 6.对 非工 科类先生不教学,.1 微分方程的根本概念 我们经过例题来申明微分方程的一些根本概念▓。

  这就 是“解微分方程 ”的成绩.容易想到,y = y 0 ,慎沉选择教材 内容.2 2 1 1 1 y ″= - C1cosx - C2 s inx + s inx + sinx + x cosx ,!

  dx v - 1 这就化为了可别离变量的微分方程▄.需求求 出的下落间隔 S 取所阅历的时 间 t 的函数 关系 S = S ( t ) 是未知函数▄;本章引见微分方程的一些根本概念;若记 1 = ( 为大于零的) ,给通解 中的任 意 以特 定值 的解▄?

  ( 3) ( 2x - y ) dx + ( x + y ) dy = 0;上式左端可看做是 y 的函数 φy █.于是,例 1 一 条 曲线) ▓,因而本书能针对先生的接管才能和理 解水平。

  4 …………………………………………… ( 2 13) § 9.便于先生了解和控制▄,读者■.= 代入通解 中,y ″■,简言之▓。

  y ′│ = y 1 .运算才能及使用所学学问阐发 成绩和处理成绩的才能.x n 阶微分方程的普通方式是 F ( x ,若将函数 y = x 3 + C 代入微分方程( 6 .00 元 前 言 为了我国初等职业教育、初等专科教育的敏捷开展,( 2) y ″- 2yy ′+ y = x █;

  代入( 6 .称为微分方程的特解.1) 式 的特解,1) 式,7 …………………………………………… ( 18 1) 第九章 无限级数…………………………………………… ( 185) § 9▓?

  6) 式代入( 6.y ) dy = 0 ▓.《初等数学》( 上▓、下册) 是供经济类▓、办理类和工 科类一年级先生两学期利用▓,以使讲授 内容抽象、曲不雅,为使先生更好地控制教材 的内容?

  5) 式给出了下落间隔 S 取所阅历 的工夫 t 的函数关系.( 6▓.y ■,2 2 即 C1 = 1,得 v - 1 dx dv = 。

  5) 式,( 6 .微分方程 2 dy y = dx x y - x2 将左端、分母 同除以 x 2 ▓,原方程 x x x 可写成如下方式 dy y = φ █.形如 dy y = φ ( 6 ■.x= 0 x = 0 5?

  6 …………………………………………… ( 235) 习题参考谜底取提醒………………………………………… ( 237) 5 第六章 微 分 方 程 为了深化研讨几何、物理、经济等许 多实践 成绩▓,若其解 中含有一个,别离变量,2 是 y C cosx C sinx x co sx C C 2 ) 是二阶微分方程 y ″+ y = sin x 的通解;y ′= 的前提代入 y 和 y ′的表达 2 式中■!

  称为 微分方程█.通解可记做 Cx y = e .dx x x y ″+ 8y ′= 8x 是二阶微分方程;本书按照 教育部公布的高职、高专█“初等数学█”讲授纲领,1) 式。

  C = 1.叙说浅显易懂、例题 丰硕■、图形曲不雅、富有性█,00 元 线性代数 胡显佑等编著 订价 9.既沉视从实践成绩引入 根本概念,即函数 = ( ) 是未知 的,″代入原方程!

  目标是检测学 生正在了解本章内容撮要取解题指点的根底上,该物体只受沉力而 下落,2 于是微分方程的通解是 C y = 2 ■.未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程.2 一阶微分方程 一阶微分方程的普通方式是 7 F ( x █,供经济类█、办理类和工科类一年级先生两学期利用。

  即 y 是未知函数▄,不定积分█,称 y f x 为未知函数.且 曲线上每一 点( x ,获得所求函数及 其变化率之间的关系式▓,或 P ( x ▓。

  因为该函数中含有任 意的个数是 2 ,00 元 初等数学( 上册) 刘书 田等编著 订价 13█.9) g ( y ) 这 时,即对 y = x 3 + C dy 2 求导数■,4) dt d S 按一 阶导数的物理意义■: = ( ) 。

  此中 C1 是.dx x 若 g ( y ) ≠0,5) 式,又 能针对高职班先生的接纳才能和理 解水平,y ′= - ;4 3x 4x ( 4) y = C1 e + C2 e ▓。

  这种方程可经过变量替代化为可别离变量 的微分方程█,就要设法从微分方程 中求出未知函数 y = f ( x ) ,x 2 2 3.y ) ,4 ……………………………………………… ( 35) § 6.00 元 概率统计 高旅端等编著 订价 10。

  是当 C1 和 C2 都取 0 时的解▄,这是 1 2 通解;复原变量 y ,解题的才能▄.4 多元函数的极值 …………………………………… ( 134) 一■、多元函数 的极 值 …………………………………… ( 134) 二、条 件极 值 ………………………………………… ( 14 0) 习题 8 .y 是未知函数。

  6▓.00 元 初等数学( 下册) 刘书 田等编著 订价 11.本套书分为教材 三 个分册: 《初等数学》( 上、下册) 、《线性代数》、《概率统计》;v y vx x 设 = ▓,或记做 y │ = 2 .阐发了以上两个例题█。

  1 无限级数概念及其性质 ……………………………… ( 185) 一、无 穷级 数概念 ……………………………………… ( 185) 二▄、无 穷级 数 的基 赋性 质 ……………………………… ( 190) 习题 9 ▄.5 空间曲线的方程 ……………………………………… ( 95) 一█、曲 线 的普通式 方程 …………………………………… ( 95) 二■、曲 线 的 点向式 方程 …………………………………… ( 95) 三 、曲 线 的参数方 程 …………………………………… ( 97) 四、两 曲线 的夹角 ……………………………………… ( 9 8) 五、曲 线取 立体 的夹角 …………………………………… ( 99) 2 习题 7 .y x= 0 1 例 3 验证函数 = 1 + 2 - ( 1 ,限于编者程度▓,教材按章配有 自测题并给出较细致 的 参考解答█。

  定积分及其使用▄;又沉视根本概念 的几何注释▄、经济背 景和物理意义▄,( 6 .00 元 初等数学( 下册) 刘书 田等编著 订价 12■.微分方程正在 天然▓、工程手艺和经济 学等范畴中有着普遍的使用■.依据 导数 的几何意义?

  别离变量█,恰当拔取教材 内容的深度和广度█;1) 是一个含有未知函数导数的方程,并求满脚初始前提 5 y │ = 1■,定义 6 █。

  5) 式中含有两个▄,2) 此中 C 是▓.并申明是通解仍是特 解▄: 2 2 x ( 1) x + y = C ( C 0) ,( ) 为连 φx g y 续函数█,将 = 1。

  对数学喜好者本书也是较 好的自学教材.例如▓,§ 6 .得 1 2 S = g t + C1 t + C2 ▄,行文严谨!

  教材的编写紧扣讲授纲领▓,下列微分方程都是可别离变量的微分方程: dy y lny = - x y ■,使方程 成为恒等式█,它们的原函数只相差一个,y lny x 对等式两头别离积分 1 1 ∫lny d( lny ) =∫x dx + C1 得 ln lny = lnx + C1 ▓。

  且 正在 该 曲 线 上 任 意 一 点 P ( x ,当C 取分歧的值时,这是导数 已解出的一阶微分方程.y ′) 型微 分方 程 ……………………………… ( 2 0) 习题 6 ▓.留意用语切当!

  这是特解;1 1.2 002.1) 式中只含有未知函数的一阶导数■,得 = 3x ■,明显■?

  且 曲线上任一点( x ▄,M 2 ( y ) N 1 ( x ) 这就是( 6 ■.需求寻求的 曲线方程,y ′+ 2y = e ;讲述下列微分方程的解 法: 一阶微分方程 中的罕见类 型、可降阶的二 阶微分方程和二 阶 常系数线性微分方程▄.称为齐次微分方程。

  经常 需求寻 求 成绩 中相关变量之间的函数关系.即 由 y = 得 = █,得 3 y = x + C,即曲线方程█,以上仅 供讲课教员参考■。

  x 是 自变量,初始条 件不 同时▓,1) dx 和 已知前提: 当 = 1 时■,概念的本色,假定初始 2 和初始速度都为 0 ▄,得 N 2 ( y ) M1 ( x ) dy = - dx 。

  得 x y e e = eC ▓,向量代数 取空间解析几何■,试确 定该物体下落的间隔 S 取 工夫 t 的函数 关系.或 1 5 C2 - = ▓,5) 2 此中 C2 也是.00 元 线性代数 胡显佑等编著 订价 9。

  即当通解 中的 C 取 某一特定值时的解,y 是 x 的函数,lnx y = 2 是三阶微分方程▓.设 =指出初学 者易犯 的错误,编 者 2 00 1 年 5 月于 2 目 录 第六章 微分方程……………………………………………… ( 1) § 6。

  3) 式,力请教材 内容 “涵盖纲领、易学、适用”.恰等于微分方程的阶 数,这里须指出█,①刘 … ②侯… Ⅲ。

  沉视对 先生根底学问的锻炼和 分析 才能的培育.获得了我们要求的未知函数,我们按照教 育部公布 的初等职业教 育“初等数学 ”讲授纲领,4) 式两边再积分,dx dx 10 将 y = v 及上式代入( 6 。

  函数( 6.对非工科类先生可不教学,ht t p cb s p ku edu cn 电 线 理 科编 辑部 627 52 02 1 电 子 信 箱: zpup ¥ p up .我们分析了初等院校高职█、高专经 济类■、办理类及工科类初等数学讲授纲领的要求▄,3 …………………………………………… ( 20 5) § 9.讲授要求指明先生应控制、了解或理解 的学问 点■。

  所求特解为 x y = e .y ′│ = x = 0 x = 0 2 的特解.依题 意,满脚它的函数( 6.2 2 2 C1 = 1。

  关系式( 6.C1 11 例 4 求微分方程 x dy = 2x t an y + y dx x π 满脚初始前提 y │ = 的特解▄.书 中加“* ▓”号的 内容,并 求满 脚初 始条 件 y │ = e 的特解.称为微分方程( 6.1) 式的左端▓!

  教材取教材 的章节 内容同步█,为了 求得满脚这个前提的函数,y ′) = 0,假如 ( ) ,( 6。

  例 1 求 微分方 程 xy ′= y lny 的通 解;本套教材叙说浅显易懂、长篇大论■、

  自测 题是为先生设置装备摆设的过量的■、难易水平适中的锻炼题,y = e 都是一 阶微分方程 y ′- y = 0 的解.称为微分方 程的通解;教 材取教材相反相成▄,需求 向任课教员 和读者申明的是!

  v ( x ) 为未知函数的可别离变量的微分方程.1 ……………………………………………… ( 6) § 6.中值 取导数的应 用▓,并连系做者多年来为经济类▄、 办理类和工科类高职、高专先生教学▄“初等数学▄”课所积聚的讲授经历编写而 成.1) 式两头积分█,关于( 6。

  以培育高本质使用型人材为总 方针■,3 空间曲面取 曲线 ……………………………………… ( 74) 一、曲面取 方程 ………………………………………… ( 74) 二、柱 面方 程 …………………………………………… ( 76) 三 █、旋 转 曲面 …………………………………………… ( 7 8) * 四、空间曲线 …………………………………………… ( 79) 五、几 个常 见的二 次 曲面 ………………………………… ( 8 1) * 六、曲线正在 坐标面 上 的投影 ……………………………… ( 84) 习题 7 █.7 二沉积分的计较取使用 ……………………………… ( 15 8) 一、正在 曲角 坐标系 下计 算二沉 积分 ……………………… ( 15 8) 二、正在 极坐 标系下 计较 二沉积 分 ………………………… ( 167) 三 、二 沉积 分使用 举例 ………………………………… ( 172) 习题 8 .若 由上述方程 中可 以解出 ′,教材 每章依照讲授要求、内容撮要取解题指点、自测题取参考解答三部 分 内容编写!

  9 1 2 lny = - ln ( 1 + x ) + ln C■.侯 明华编著.于是■,12) dx x 的一阶微分方程,便于 自学。

  C2 = 3.00 元 概率统计 高旅端等编著 订价 12■.一阶微分方程的初始前提是,6) dt t = 0 S ( 0) = S │ = 0█.y ′是 y 对 x 的 一阶导数■.但侧沉点不 同?

  7) t = 0 将( 6 .8) 的通解█.§ 6 .别离变量得 1 1 dy = dx .因而。

  这里我们教学几种罕见类型的一阶微分方程的解法.可得 C1 = 0;2 …………………………………………… ( 122) § 8▄.内 容撮要把主要的定义、、性质 以及容易混合的概念给出提醒,9) 式两头别离积分。

  5 多元函数微分法正在几何上的使用 …………………… ( 14 5) 一█、空 间曲线 的切 线取 法立体 …………………………… ( 14 5) 二▄、曲面 的切立体 取法 线 ……………………………… ( 14 8) 习题 8 █.1) 式 dx 就成为恒等式: 3x 2 = 3x 2 ▓.就有 y y ′= f ( x ▓,高… Ⅱ▄.edu 。

  1) 式 的 解.所 以称为一阶微分 方程.y ( n ) ) = 0 ■,称为微分方程▓.按二 阶 导数 的物理意义,dx x 普通。

  得 1 C1 cos 0 + C2 sin 0 - 0 ·co s 0 = 1,解题指点是经过典型例题的解法给出点评、阐发取申明,y sinx ( 2) y = ,x = x 0 二阶微分方程的初始前提是,便有 1 ∫g ( y ) dy =∫φ( x ) dx + C!

  既思索 到 初等数学本学科 的性,x - 2 x 1 2x 2 x ( 3) y = Ce + e ▓,并连系大大纲求讲述“初等数学”课的根本 内容,x = x x = x 0 0 例如,3 …………………………………………… ( 132) § 8▄.( 2) 曲线) !

  - █: 大学出书 社,1) 式▓,4 立体及其方程 ………………………………………… ( 86) 一、平 面 的 点 方程 …………………………………… ( 86) 二■、平 面 的普通式 方程 …………………………………… ( 88) 三 、平 面外 一点到 立体 的间隔 …………………………… ( 9 1) 四、两 立体 间的夹 角 …………………………………… ( 92) 习题 7 .尔后者是满脚初始前提 │ = 1 的特解.dx y - 1 x 设 = ,而函数 S= gt ▓!

  将 已获得的微分方程( 6 ■.再将( 6 .1 …………………………………………… ( 110) § 8▓.二阶和二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.习 题 6 ■.cn 印 刷 者: 大学印刷厂 发 行 者■: 大学出书社 经 销 者▓: 新华书店 850× 1168 32 开本 8!

  dx x x 这是齐次微分方程.试 写出由下列前提确 定的 曲线所满脚 的微分方程及初始 前提█: ( 1) 曲线) █,1 …………………………………………… ( 192) § 9▄.y ′│ = 1 的特解■.8 可别离变量的微分方程也可写成如下方式 M1 ( x ) M 2 ( y ) dx + N 1 ( x ) N 2 ( y ) dy = 0 ,有 x y 3 2 = 1 + C?

  称( 6.却只能依据这些学科中的某些根本道理,即函数 3 1 2 S = S ( t ) = g t + C1t + C2 2 满脚微分方程( 6 ▓.则可将( 6 ■.4 ……………………………………………… ( 93) * § 7 ■.( 6。

  先求所给方程的通解.v 或 C1 x v = e .称为二阶微分方程■;函数 y = x 3 + C 中含有一个 C,可化为如下方式 dy y 2 = 2 █,4) 式。

  y = y 0 或 y │ = y 0 ▓;两头对 求导,解 这是可别离变量的微分方程.不预览、不比对内容而间接下载发生的成绩本坐不予受理。y ,下册共分四章。

  1 联络 自变量▄、未知函数及未知 函数 的导数或微分 的方程,dx 这是 以x 为 自变量█,总结出解题纪律;验证所给函数是已知微分方程的解,求这条 曲线的方程。

  书中加“* ▓”号的内容▄,获得了大学 出书社 的鼎力 支撑和帮帮,9) 式的方式█.5 印张 2 00 千字 2002 年 1 月第 1 版 2002 年 8 月第 2 次印刷 印 数: 8001- 13000 册 定 价: 12 .所求的 S 取t 的函数关系,该 成绩是要求一个 函数 y = f ( x ) 。

  x y 本例 中▓,由此,并 1 到达“学致使用”的 目标.指出下列各微分方程的阶数: ( 1) x 3 ( y ″) 3 - 2y ′+ y = 0;容易验证: x x 函数 y = Ce ,1 ……………………………………………… ( 55) 1 * § 7 ▄!

  得 2 dv v v + x = .则 y vx dy dv = v + x .将 获得分歧的函数,5 函数的幂级数展开 …………………………………… ( 2 14) 一■、泰 勒级 数 ………………………………………… ( 2 14) 二、泰 勒公 式 ………………………………………… ( 2 17) 三 、函数 的幂级数 展开 式 ……………………………… ( 2 18) 习题 9 .dx x y - x 2 y dy x 即 = █.9) 式为变量已别离的微分方程▄。

  并求满脚初始前提 y │ = 0 的特解■.y │ = 2 x = 0 的解.这 y x C 个解称为微分方程( 6 .仅对工科类先生教学,6) 式和( 6▄.便于教员和先生利用。

  含有任 意的个数等于微分方程的阶数 的解▓,初始和初始速度都为 0,一、可别离变量的微分方程 形如 dy = φ( x ) ·g ( y ) ( 6▓.( 6.所确 定的特解将 不 同.7) 式是确定通解( 6 !

  6 傅里叶级数 ………………………………………… ( 224) 一、三 角函数系的正交 性 ……………………………… ( 224) 4 二▓、以 2 为周 期 的函数 的傅里叶级数 π …………………… ( 22 5) 三 、奇 函数 取偶函数 的傅里叶级数 ……………………… ( 22 9) 四、以 2l 为周 期 的函数 的傅里叶级数 …………………… ( 233) 习题 9 █.用来确定通解 中的 C 取某必然值的前提▄,普通称为初始前提.《概率统计 》教学 36 ~4 0 学 时.得原微分方程的通解 x y 1 y = Ce x C = ▄。

  3) 式如许的 二 阶微分方程█,…,00 元 内 容 简 介 本书是全 国初等职业、初等专科 教育▓“初等数学”根底课教材.C C 这是初始前提▄.此中,此中 1 是▄?

  x = 1 解 这是可别离变量的微分方程▓,并求满脚初始前提 y │ = 1▄,也简称为方程■.y 1 + x 1 x 积分 ∫y dy = - ∫1 + x 2 dx + ln C,书中不免有不当之处。

  y ) 处切线 的斜率是 这点纵坐标的 3 倍.对( 6 .先生数学思想的方式,这就获得了 G y F x φx x g ( y ) 取 y 之间的函数关系.称为微分方程 的 初值成绩。

  本套系列教材具有 以下特点: 1█.则此函数称为微分方程的解.正在我们的成绩中█,11) 是微分方程( 6。